कैलकुलस उदाहरण

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{3}$ और $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{- t} + e^{t}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{- t} + e^{t}$ से बदलें.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{- t} + e^{t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ है.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- t$ के रूप में सेट करें.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- t$ से बदलें.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $e^{- t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 4.3.3

$- 1 e^{- t}$ को $- e^{- t}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

चरण 5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ को $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{- t}$ को $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.1.2

$- t$ में से $t$ घटाएं.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.2

घातांक जोड़कर $e^{- t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.2.2

$- t$ और $t$ जोड़ें.

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.4

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.4.2

$t$ में से $t$ घटाएं.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.5

$e^{0}$ को सरल करें.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.6

घातांक जोड़कर $e^{t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.1.6.2

$t$ और $t$ जोड़ें.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

चरण 6.6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ का प्रसार करें.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.2

घातांक जोड़कर $e^{- 2 t}$ को $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$e^{- t}$ ले जाएं.

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.2.3

$- t$ में से $2 t$ घटाएं.

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.4

घातांक जोड़कर $e^{- 2 t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.4.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.4.3

$t$ में से $2 t$ घटाएं.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.5

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.7

घातांक जोड़कर $e^{2 t}$ को $e^{- t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.7.1

$e^{- t}$ ले जाएं.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.7.3

$- t$ और $2 t$ जोड़ें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.8

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

चरण 6.7.9

घातांक जोड़कर $e^{2 t}$ को $e^{t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.9.1

$e^{t}$ ले जाएं.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

चरण 6.7.9.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

चरण 6.7.9.3

$t$ और $2 t$ जोड़ें.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

चरण 6.8

$3 e^{- t}$ में से $6 e^{- t}$ घटाएं.

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

चरण 6.9

$6 e^{t}$ में से $3 e^{t}$ घटाएं.

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$