कैलकुलस उदाहरण

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ को $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

चरण 1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

चरण 1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$\tan (2 x) \tan (2 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1.1

$\tan (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.1.2

$\tan (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में फिर से लिखें, फिर सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.1

$\tan (2 x)$ और $\cot (2 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.2.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (2 x) \cot (2 x)$ को फिर से लिखें.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.3.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (2 x) \tan (2 x)$ को फिर से लिखें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.4

$\cot (2 x) \cot (2 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.4.1

$\cot (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 1.3.1.4.2

$\cot (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

चरण 1.3.1.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

चरण 1.3.1.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 1.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 3.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 4

$\tan^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (u_{1})$ को $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 9

चूंकि $\tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{1})$ है, $\sec^{2} (u_{1})$ का समाकलन $\tan (u_{1})$ है.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = 2 x$ .फिर $d u_{2} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = 2 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 11.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 12

$\cot^{2} (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cot^{2} (u_{2})$ को $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

चरण 15

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 16

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

चरण 17

चूंकि $- \cot (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u_{2})$ है, $\csc^{2} (u_{2})$ का समाकलन $- \cot (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

सरल करें.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

चरण 18.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 18.2.2

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

चरण 18.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

चरण 18.2.4

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

चरण 18.2.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

चरण 18.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

चरण 18.2.6

$- u_{2} - \cot (u_{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

चरण 19

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

चरण 19.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 x}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 20.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 20.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 20.3

$- x$ और $2 x$ जोड़ें.

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 20.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

चरण 21

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$