कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.3

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.4

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.2.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ को $\csc (t)$ में बदलें.

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 3

$\csc (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (t)$ को $1 + \tan^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 7

$t$ के संबंध में $\csc (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ है.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 8

प्रतिलोम सर्वसमिका को $\csc (t)$ पर लागू करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

चरण 9

$\tan (t)$ को ज्या और कोज्या में भागफल सर्वसमिका का उपयोग करके लिखें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ पर लागू करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

चरण 10.2

जोड़ना.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

चरण 10.3

${\sin (t)}^{2}$ और $\sin (t)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$1 {\sin (t)}^{2}$ में से $\sin (t)$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

चरण 10.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ में से $\sin (t)$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

चरण 10.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

चरण 10.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

चरण 10.4

$\sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

चरण 11

$1$ से गुणा करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

चरण 12

$\cos^{2} (t)$ में से $\cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

चरण 13

अलग-अलग भिन्न

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

चरण 14

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ को $\tan (t)$ में बदलें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

चरण 15

$\frac{1}{\cos (t)}$ को $\sec (t)$ में बदलें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 16

चूंकि $\sec (t)$ का व्युत्पन्न $\tan (t) \sec (t)$ है, $\tan (t) \sec (t)$ का समाकलन $\sec (t)$ है.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

चरण 17

सरल करें.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

चरण 18

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (x)$ से बदलें.

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$