कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = 2 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.1.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.6

उत्पाद नियम को $4 \cos^{2} (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.7

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.8

घातांक को ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.8.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.9

$64 \cos^{6} (t)$ को ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.1.10

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$8 \cos^{3} (t)$ में से $2 \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 \sin (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

चरण 3.2.2.5

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ को $\tan^{2} (t)$ में बदलें.

$\int \tan^{2} (t) d t$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

चरण 7

चूंकि $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है, $\sec^{2} (t)$ का समाकलन $\tan (t)$ है.

$- t + C + \tan (t) + C$

चरण 8

सरल करें.

$- t + \tan (t) + C$

चरण 9

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

चरण 10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$