कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 9}{x^{2} + 3} d x$

चरण 1

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 9$ को $x^{2} + 3$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

चरण 1.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

$x^{3}$

$0$

$3 x$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 + 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$9$

$x^{3}$

$0$

$3 x$

$3 x^{2}$

$x$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$

चरण 1.7

भाज्य $- 3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	-	$9$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x^{2} + 0 - 9$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							+	$3 x^{2}$	-	$0$	+	$9$

चरण 1.10

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$9$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$3 x$
							-	$3 x^{2}$	+	$x$	-	$9$
							+	$3 x^{2}$	-	$0$	+	$9$
									+	$x$	+	$0$

चरण 1.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int x - 3 + \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = x^{2} + 3$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 5.1

मान लें $u = x^{2} + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 5.1.1

$x^{2} + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 5.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 6.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$