कैलकुलस उदाहरण

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\cot^{3} (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

चरण 4

निराकरणीय सूत्र लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

चरण 5

$u$ के संबंध में $\cot (u)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (u) |)$ है.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

चरण 6

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ को $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\cot^{2} (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (2 x)$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

चरण 8.3.2

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

चरण 8.4

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| \sin (2 x) |)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5.2

जोड़ना.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5.3

$\cos^{2} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5.4

$2$ को $\sin^{2} (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5.5

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.5.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.5.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$1$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6.2

$1$ से गुणा करें.

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6.3

अलग-अलग भिन्न

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6.4

$\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ को $\cot^{2} (2 x)$ में बदलें.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 8.6.6

$\frac{1}{4}$ और $\cot^{2} (2 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

चरण 9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$