कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 x + 9$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 x + 9$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x + 9$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 1.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 2

$e^{\sqrt{u_{1}}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , तो $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 6

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u_{2}$ और $dv = e^{u_{2}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

चरण 10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sqrt{u_{1}}$ से बदलें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

चरण 10.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 9$ से बदलें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

चरण 11.2

$3 x + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

चरण 11.2.2

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

चरण 11.2.3

$3 x + 3 \cdot 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

चरण 11.3

$3 x + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

चरण 11.3.2

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

चरण 11.3.3

$3 x + 3 \cdot 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$3 x + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.1.2

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.1.3

$3 x + 3 \cdot 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.2

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

$\sqrt{3 (x + 3)}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.2.2

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ और $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.3

$2$ को $\sqrt{3 (x + 3)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

चरण 11.4.4

$\frac{2}{3}$ और $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

चरण 11.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

चरण 11.6

$2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ में से $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

$2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ में से $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

चरण 11.6.2

$- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ में से $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

चरण 11.6.3

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ में से $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$