कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

चरण 1

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$5$ ले जाएं.

$4 x - x^{2} + 5$

चरण 1.1.2

$4 x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} + 4 x + 5$

चरण 1.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

चरण 1.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.2.1.2

ऋणात्मक को $\frac{2}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 2$

चरण 1.4.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$d = - 2$

चरण 1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

$4^{2}$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1.1

$4^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.2.1.1.2

ऋणात्मक को $\frac{4}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

चरण 1.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.2.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$e = 5 - - 4$

चरण 1.5.2.1.2.2

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$e = 5 + 4$

चरण 1.5.2.2

$5$ और $4$ जोड़ें.

$e = 9$

चरण 1.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - 2)}^{2} + 9$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = x - 2$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = x - 2$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 3 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $3 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

उत्पाद नियम को $3 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.1.3

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.2

$- 9 \sin^{2} (t)$ और $9$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.3

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.4

$- 9 \sin^{2} (t)$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.5

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.7

$9 \cos^{2} (t)$ को ${(3 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 4.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 4.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 4.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 4.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

चरण 5

चूँकि $9$ बटे $t$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

चरण 6

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = 2 t$ .फिर $d u_{2} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = 2 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 11.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 11.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 12

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 14

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 15

सरल करें.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 16.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 16.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 16.4

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

चरण 16.5

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

चरण 17.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

चरण 17.3

$\frac{9}{2}$ और $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ को मिलाएं.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

चरण 17.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$\frac{9}{2}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

चरण 17.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$