कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

चरण 1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

चरण 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ को $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

चरण 2

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (x)$ को $1 + \tan^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = \tan (x)$ .फिर $d u = \sec^{2} (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = \tan (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\tan (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 3.1.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$\sec^{2} (x)$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \tan (0)$

चरण 3.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

चरण 3.5

$\tan (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$u_{upper} = \sqrt{3}$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

चरण 4

$u^{5} (1 + u^{2})$ गुणा करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u^{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

चरण 5.2

घातांक जोड़कर $u^{5}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

चरण 5.2.2

$5$ और $2$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} u^{6}$ है.

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{7}$ का समाकलन $\frac{1}{8} u^{8}$ है.

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

चरण 9

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ और $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\sqrt{3}$ पर और $0$ पर $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

${\sqrt{3}}^{6}$ को $3^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.4

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.1.4.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.3

$\frac{1}{6}$ और $27$ को मिलाएं.

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.4

$27$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.4.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5

${\sqrt{3}}^{8}$ को $3^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.3

$\frac{1}{2}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.4

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.4.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.5.4.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.6

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.7

$\frac{1}{8}$ और $81$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.8

$\frac{9}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.9

प्रत्येक व्यंजक को $8$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.9.1

$\frac{9}{2}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.9.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.11.1

$9$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.11.2

$36$ और $81$ जोड़ें.

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.12

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.13

$\frac{1}{6}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

चरण 10.2.14

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

चरण 10.2.15

$\frac{1}{8}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

चरण 10.2.16

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{117}{8} - 0$

चरण 10.2.17

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{117}{8} + 0$

चरण 10.2.18

$\frac{117}{8}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{117}{8}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{117}{8}$

दशमलव रूप:

$14.625$

मिश्रित संख्या रूप:

$14 \frac{5}{8}$