कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{18}} \sin^{5} (9 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 9 x$ .फिर $d u_{1} = 9 d x$ , तो $\frac{1}{9} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 9 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$9 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [9 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$9 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$9 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$9$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = 9 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 9 \cdot 0$

चरण 1.3

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = 9 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{18}$

चरण 1.5

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$18$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 (2)}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 \cdot 2}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1}$

चरण 2

$\sin^{5} (u_{1})$ और $\frac{1}{9}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{9} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{4} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 7.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 7.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 7.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 7.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 7.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 7.6

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 7.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

चरण 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ को $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.5

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

चरण 9.6

${u_{2}}^{2}$ ले जाएं.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.11

${u_{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

चरण 9.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ में से ${u_{2}}^{2}$ घटाएं.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ और ${u_{2}}^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9.16

$1$ ले जाएं.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{9} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$\frac{1}{9} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 12

$\frac{1}{5}$ और ${u_{2}}^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 13

चूँकि $- 2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 14

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 15

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

चरण 16

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

चरण 17

$\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ और $u_{2}]_{1}^{0}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

चरण 18

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$0$ पर और $1$ पर $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

चरण 18.2

$0$ पर और $1$ पर $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.2

$0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.2.1

$0$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.2.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{9} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.7

$1$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.8

$0$ में से $\frac{6}{5}$ घटाएं.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.10

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.10.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.10.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

चरण 18.3.11

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

चरण 18.3.12

$0$ में से $\frac{1}{3}$ घटाएं.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

चरण 18.3.13

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

चरण 18.3.14

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

चरण 18.3.15

$- \frac{6}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

चरण 18.3.16

$\frac{2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

चरण 18.3.17

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.17.1

$\frac{6}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

चरण 18.3.17.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

चरण 18.3.17.3

$\frac{2}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

चरण 18.3.17.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

चरण 18.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

चरण 18.3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.19.1

$- 6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

चरण 18.3.19.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

चरण 18.3.19.3

$- 18$ और $10$ जोड़ें.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 8}{15})$

चरण 18.3.20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{9} (- - \frac{8}{15})$

चरण 18.3.21

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} (1 (\frac{8}{15}))$

चरण 18.3.22

$\frac{8}{15}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{8}{15}$

चरण 18.3.23

$\frac{1}{9}$ को $\frac{8}{15}$ से गुणा करें.

$\frac{8}{9 \cdot 15}$

चरण 18.3.24

$9$ को $15$ से गुणा करें.

$\frac{8}{135}$

चरण 19

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{135}$

दशमलव रूप:

$0.0\overline{592}$