कैलकुलस उदाहरण

$\int \ln (1 + x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (1 + x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2

$x$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

चरण 3

$x$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 3.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 3.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

चरण 3.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

चरण 3.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

चरण 3.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 7.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 7.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 7.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 7.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

चरण 9

सरल करें.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$