कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (3 y) + \cos (5 y) d y$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (5 y) d y$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 3 y$ .फिर $d u_{1} = 3 d y$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 3 y$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 2.1.2

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$3 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

चरण 3

$\sin (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (5 y) d y$

चरण 5

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{1})$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (5 y) d y$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = 5 y$ .फिर $d u_{2} = 5 d y$ , तो $\frac{1}{5} d u_{2} = d y$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = 5 y$ . $\frac{d u_{2}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$5 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [5 y]$

चरण 6.1.2

चूंकि $5$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $5 y$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$5 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 6.1.3

$5 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

चरण 7

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{5} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\sin (u_{2}) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 y$ से बदलें.

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (u_{2}) + C$

चरण 11.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 y$ से बदलें.

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{5} \sin (5 y) + C$