कैलकुलस उदाहरण

$\int x \cos^{2} (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos^{2} (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (4 x) d x)$

चरण 6

मान लीजिए $u = 4 x$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 8.2

$\frac{1}{8}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C)))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.1.2

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.1.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

चरण 10.2

सरल करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{x^{2}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

चरण 10.3.3

$\frac{1}{32}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) + C$

चरण 10.3.4

$- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + C$

चरण 10.3.5

$- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

चरण 10.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

चरण 10.3.7

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})}{8} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

चरण 12.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 (- 2) \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

चरण 12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

चरण 12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

चरण 12.3

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$- \frac{\cos (4 x)}{32}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

चरण 12.3.2

$- 8$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 (- 1) \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

चरण 12.3.3

$32$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

चरण 12.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

चरण 12.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - \frac{- \cos (4 x)}{4}}{8} + C$

चरण 12.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - - \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

चरण 12.4.2

$- - \frac{\cos (4 x)}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 1 \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

चरण 12.4.2.2

$\frac{\cos (4 x)}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} (x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 x)) + C$