कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{1} = x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

चरण 1.5

${\sqrt[4]{π}}^{2}$ को $\sqrt{π}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\sqrt[4]{π}$ को $π^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

चरण 1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

चरण 1.5.3

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

चरण 1.5.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

चरण 1.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 1.5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

चरण 1.5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.5.5

$π^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{π}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sqrt{π}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

चरण 1.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{1}{2}$ और $u_{1}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ और $\cos ({u_{1}}^{2})$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1}$

चरण 4.2

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2}$

चरण 4.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$u_{1}$ के लिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

चरण 4.5

${\sqrt{π}}^{2}$ को $π$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\sqrt{π}$ को $π^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

चरण 4.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

चरण 4.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

चरण 4.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

चरण 4.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π^{1}$

चरण 4.5.5

सरल करें.

$u_{upper} = π$

चरण 4.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

चरण 4.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

चरण 9

$π$ पर और $0$ पर $\sin (u_{2})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

चरण 10.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

चरण 10.3

$\sin (π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} \sin (π)$

चरण 10.4

$\frac{1}{4}$ और $\sin (π)$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (π)}{4}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{\sin (0)}{4}$

चरण 11.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{4}$

चरण 11.2

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$0$