कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ को $\frac{d}{d x} [x - 1]$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

चरण 1.1.2.1.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

चरण 1.1.2.1.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 1$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

चरण 1.1.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 1.1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

चरण 1.3.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

चरण 1.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

चरण 1.3.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \sqrt{1}$

चरण 1.3.5

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

चरण 1.5.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

चरण 1.5.3

$1$ में से $2$ घटाएं.

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

चरण 1.5.4

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = \sqrt{0}$

चरण 1.5.5

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

चरण 1.5.6

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{0} u d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

चरण 3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$0$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} u^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

चरण 3.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - \frac{1}{2}$

चरण 3.2.5

$0$ में से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$- 0.5$

चरण 5