कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x^{2} + 1)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 5

$x^{2}$ को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 0 + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

चरण 5.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

चरण 9.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

चरण 10

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x)]_{0}^{1}$ है.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1$ पर और $0$ पर $\ln (x^{2} + 1) x$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

चरण 11.2

$1$ पर और $0$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

चरण 11.3

$1$ पर और $0$ पर $\arctan (x)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.3

$\ln (2)$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.6

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.7

$0$ को $\ln (1)$ से गुणा करें.

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.8

$\ln (2)$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 11.4.9

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

चरण 12.1.1.2

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

चरण 12.1.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

चरण 12.1.2

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

चरण 12.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

चरण 12.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$- \frac{π}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

चरण 12.4.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

चरण 12.4.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

चरण 12.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

चरण 12.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

चरण 12.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

चरण 12.5.2

$- - \frac{π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

चरण 12.5.2.2

$\frac{π}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

दशमलव रूप:

$0.26394350 \dots$