कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \ln (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = \sqrt{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2

$\ln (x)$ और $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{1}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

चरण 4.3

घातांक जोड़कर $x^{\frac{3}{2}}$ को $x^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

चरण 4.3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

चरण 4.3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

चरण 4.3.5.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$4$ पर और $1$ पर $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

चरण 6.2

$4$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.4

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 8)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.5

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (4) \cdot 16}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.6

$16$ को $\ln (4)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{16 \cdot \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.9

$2$ को $\ln (1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \cdot \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.10

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.11

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.13

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.14

$\frac{2}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.15

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.3.16

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

चरण 6.3.17

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

चरण 6.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

चरण 6.3.19

$16$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{3}$

चरण 6.3.20

$\frac{14}{3}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

चरण 6.3.21

$14$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{3 \cdot 3}$

चरण 6.3.22

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{9}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{16 \ln (4) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\ln (4)$ को $\ln (2^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{16 \ln (2^{2}) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.2.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{2})$ का प्रसार करें.

$\frac{16 (2 \ln (2)) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.2.3

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{32 \ln (2) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.2.4

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\frac{32 \ln (2) - 2 \cdot 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.2.5

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{32 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.3

$32 \ln (2)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{32 \ln (2)}{3} + \frac{- 28}{9}$

चरण 7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

दशमलव रूप:

$4.28245881 \dots$