कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

चरण 1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 3.4

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

चरण 3.5

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

चरण 3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

चरण 3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

चरण 3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

चरण 6.1.2

$\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

चरण 6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4$ पर और $2$ पर $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

चरण 6.2.2

$4$ पर और $2$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.2

$16$ को $\ln (4)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.3

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.3.1

$16 \ln (4)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.3.2.4

$8 \ln (4)$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.5

$4$ को $\ln (2)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.6

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.6.1

$4 \ln (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.6.2.4

$2 \ln (2)$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.8

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.9

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.9.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.9.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.11

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.11.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

चरण 6.2.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

चरण 6.2.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

चरण 6.2.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

चरण 6.2.3.11.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

चरण 6.2.3.12

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

चरण 6.2.3.13

$8$ में से $2$ घटाएं.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

चरण 6.2.3.14

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.14.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

चरण 6.2.3.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.14.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

चरण 6.2.3.14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

चरण 6.2.3.14.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

चरण 6.2.3.14.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

चरण 6.2.3.15

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\ln (4)$ को $\ln (2^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

चरण 7.2.2

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{2})$ का प्रसार करें.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

चरण 7.2.3

$- 2$ को $6$ से गुणा करें.

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

चरण 7.2.4

$6$ को $- 3$ से गुणा करें.

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

चरण 7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

चरण 7.3.2

$16$ को $6$ से गुणा करें.

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

चरण 7.4

$96 \ln (2)$ में से $12 \ln (2)$ घटाएं.

$84 \ln (2) - 18$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$84 \ln (2) - 18$

दशमलव रूप:

$40.22436316 \dots$