कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

चरण 1

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

चरण 2.1.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{x + h}{x + h + 1}$ है.

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x + h}{x + h + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

चरण 4.1.2

$- \frac{x}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

चरण 4.1.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h + 1) (x + 1)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$\frac{x + h}{x + h + 1}$ को $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

चरण 4.1.3.2

$\frac{x}{x + 1}$ को $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5

$\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.2.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.2.3

$h$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.4.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.4.1.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.4.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.5

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.6

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.7

$x$ में से $x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.8

$h x + h - x h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.9

$h x$ में से $x h$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.9.1

$h$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.9.2

$x h$ में से $x h$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.1.5.10

$h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

चरण 4.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

चरण 5.2

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

चरण 5.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

चरण 5.4

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

चरण 5.5

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

चरण 5.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

चरण 7.2

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ को $\frac{1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

चरण 7.2.2

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

चरण 7.2.3

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

चरण 7.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

चरण 7.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 8