कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x {(x - 3)}^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ है.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ है.

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.4.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

चरण 1.1.4.5

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

चरण 1.1.4.6

${(x - 3)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

चरण 1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

चरण 1.1.5.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

चरण 1.1.5.3

$9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ में से $3 {(x - 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.3.1

$9 x {(x - 3)}^{2}$ में से $3 {(x - 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

चरण 1.1.5.3.2

$3 {(x - 3)}^{3}$ में से $3 {(x - 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

चरण 1.1.5.3.3

$3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ में से $3 {(x - 3)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

चरण 1.1.5.4

$3 x$ और $x$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.5

${(x - 3)}^{2}$ को $(x - 3) (x - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 3) (x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.7.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.7.1.2

$- 3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.7.1.3

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.7.2

$- 3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.9.1

$- 6$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.9.2

$3$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

चरण 1.1.5.10

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ का प्रसार करें.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.2.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.4

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.11.6.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.7

$- 18$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.8

$- 3$ को $- 18$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.9

$4$ को $27$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

चरण 1.1.5.11.10

$27$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

चरण 1.1.5.12

$- 9 x^{2}$ में से $72 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

चरण 1.1.5.13

$54 x$ और $108 x$ जोड़ें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x^{3}$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 81$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 81 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $- 81$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [162 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $162$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $162 x$ का व्युत्पन्न $162 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.4.2

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.4.3

$162$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

चरण 1.2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 81$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 81$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

चरण 1.2.5.2

$36 x^{2} - 162 x + 162$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $36 x^{2} - 162 x + 162$ है.

$36 x^{2} - 162 x + 162$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$36 x^{2} - 162 x + 162$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$36 x^{2}$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

चरण 2.2.1.2

$- 162 x$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

चरण 2.2.1.3

$162$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

चरण 2.2.1.4

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

चरण 2.2.1.5

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ में से $18$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ है और जिसका योग $b = - 9$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1.1

$- 9 x$ में से $- 9$ का गुणनखंड करें.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.2

$- 9$ को $- 3$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

चरण 2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

चरण 2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

चरण 2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

चरण 2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 2.4

$2 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 3 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $2 x - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$2 x = 3$

चरण 2.4.2.2

$2 x = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$2 x = 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

चरण 2.4.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{3}{2}$

चरण 2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{3}{2}, 3$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $\frac{3}{2}$ को $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$3 (\frac{3}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$3$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

चरण 3.1.2.1.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

चरण 3.1.2.2

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.3

$- 3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.5.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.5.2

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

चरण 3.1.2.7

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.7.1

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

चरण 3.1.2.7.2

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

चरण 3.1.2.8

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

चरण 3.1.2.9

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

चरण 3.1.2.10

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

चरण 3.1.2.11

$\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.11.1

$\frac{9}{2}$ को $\frac{27}{8}$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

चरण 3.1.2.11.2

$9$ को $27$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

चरण 3.1.2.11.3

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

चरण 3.1.2.12

अंतिम उत्तर $- \frac{243}{16}$ है.

$- \frac{243}{16}$

चरण 3.2

$\frac{3}{2}$ को $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $3$ को $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

चरण 3.3.2.2

$3$ में से $3$ घटाएं.

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

चरण 3.3.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (3) = 9 \cdot 0$

चरण 3.3.2.4

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$f (3) = 0$

चरण 3.3.2.5

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3.4

$3$ को $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(3, 0)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(3, 0)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, \frac{3}{2})$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.4$ से बदलें.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$1.4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

चरण 5.2.1.2

$36$ को $1.96$ से गुणा करें.

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

चरण 5.2.1.3

$- 162$ को $1.4$ से गुणा करें.

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$70.56$ में से $226.8$ घटाएं.

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

चरण 5.2.2.2

$- 156.24$ और $162$ जोड़ें.

$f'' (1.4) = 5.76$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $5.76$ है.

$5.76$

चरण 5.3

$1.4$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $5.76$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, \frac{3}{2})$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, \frac{3}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(\frac{3}{2}, 3)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.25$ से बदलें.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2.25$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

चरण 6.2.1.2

$36$ को $5.0625$ से गुणा करें.

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

चरण 6.2.1.3

$- 162$ को $2.25$ से गुणा करें.

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$182.25$ में से $364.5$ घटाएं.

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

चरण 6.2.2.2

$- 182.25$ और $162$ जोड़ें.

$f'' (2.25) = - 20.25$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 20.25$ है.

$- 20.25$

चरण 6.3

$2.25$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 20.25$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(\frac{3}{2}, 3)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(\frac{3}{2}, 3)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(3, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.1$ से बदलें.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$3.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

चरण 7.2.1.2

$36$ को $9.61$ से गुणा करें.

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

चरण 7.2.1.3

$- 162$ को $3.1$ से गुणा करें.

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$345.96$ में से $502.2$ घटाएं.

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

चरण 7.2.2.2

$- 156.24$ और $162$ जोड़ें.

$f'' (3.1) = 5.76$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $5.76$ है.

$5.76$

चरण 7.3

$3.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $5.76$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(3, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(3, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

चरण 9