कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = x - 4$ है.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

चरण 1.1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 1.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 1.1.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

चरण 1.1.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

चरण 1.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.2.1

$x$ और $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{2}{3}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.2.3.1

$x$ को $x^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.2.3.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.3.4

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.4

$- 4$ और $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.7

$x^{\frac{1}{3}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.9

$3$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.10.2.10

$3 x^{\frac{1}{3}}$ और $x^{\frac{1}{3}}$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

चरण 2.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

चरण 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

चरण 2.2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 2.2.4

चूंकि $3$ का $1$ और $3$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$3$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 2.2.5

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 2.2.6

$3, 3, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$3$

चरण 2.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x^{\frac{2}{3}}$

चरण 2.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $3$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

चरण 2.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $3 x^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ के प्रत्येक पद को $3 x^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.3

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{3}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

$x^{\frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.3.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.3.5

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$4 x^{1} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.4

$4 x^{1}$ को सरल करें.

$4 x - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.5

$3 x^{\frac{2}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.5.1

$- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x - 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$4 x - 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

चरण 2.3.3.1.2

$0$ को $x^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

$4 x - 4 = 0$

चरण 2.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$4 x = 4$

चरण 2.4.2

$4 x = 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$4 x = 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

चरण 2.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

चरण 2.4.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{4}{4}$

चरण 2.4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

$4$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $1$ हैं.

$1$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.1.2

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

चरण 4.1.3

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

चरण 4.2

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $3 x^{\frac{2}{3}}$ पर लागू करें.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.2.1.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.2.1.3

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$27 x^{2} = 0^{3}$

चरण 4.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$27 x^{2} = 0$

चरण 4.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से विभाजित करें.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 4.3.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.2.1

$27$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 4.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{0}{27}$

चरण 4.3.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.3.1

$0$ को $27$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 0$

चरण 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 4.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.3.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 4.3.3.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 4.3.3.3.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.1.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6.2.1.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

चरण 6.2.1.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

चरण 6.2.1.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 {(- 1)}^{2}}$

चरण 6.2.1.4.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3 \cdot 1}$

चरण 6.2.1.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{4}{3}$

चरण 6.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 4}{3}$

चरण 6.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$- 4$ में से $4$ घटाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 8}{3}$

चरण 6.2.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = - \frac{8}{3}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{8}{3}$ है.

$- \frac{8}{3}$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{8}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ को $2^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.3

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {({(2)}^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.6

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2} \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.8

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.9

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.11.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{6 - 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.1.11.2

$6$ में से $1$ घटाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 7.2.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}})}$

चरण 7.2.1.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{3 (\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})}$

चरण 7.2.1.3

$3$ और $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2^{\frac{2}{3}}}}$

चरण 7.2.1.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - (4 (\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}))$

चरण 7.2.1.5

$4 \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.5.1

$4$ और $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 + \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.4

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.5

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.5.7.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{6 + 2}{3}}}{3}$

चरण 7.2.1.5.7.2

$6$ और $2$ जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3} - \frac{2^{\frac{8}{3}}}{3}$

चरण 7.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ है.

$\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$

चरण 7.3

$x = \frac{1}{2}$ पर व्युत्पन्न $\frac{2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{8}{3}}}{3}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.4

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.6.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.1.6.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ है.

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

चरण 8.3

सरल करें.

$0.83994736$

चरण 8.4

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $0.83994736$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0), (0, 1)$

चरण 10