कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 4$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

$2$ को $x^{2} - 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.1.2

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.2

$2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ में से $2 x^{3}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.3.2.2

$- 8 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

चरण 1.1.6.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.5.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.6.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

चरण 1.1.6.5.3

उत्पाद नियम को $(x + 2) (x - 2)$ पर लागू करें.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ है.

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$8 x = 0$

चरण 2.3

$8 x = 0$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$8 x = 0$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{8}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $8$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.2

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.2.2

$x$ के लिए ${(x + 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 4.2.2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 4.2.3

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

${(x - 2)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 2)}^{2} = 0$

चरण 4.2.3.2

$x$ के लिए ${(x - 2)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 2$

चरण 4.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 2, x = 2$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$8$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 3$ और $2$ जोड़ें.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$- 3$ में से $2$ घटाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

चरण 6.2.2.4

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

चरण 6.2.2.5

$25$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{24}{25}$ है.

$\frac{24}{25}$

चरण 6.3

$x = - 3$ पर व्युत्पन्न $\frac{24}{25}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 2)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 2)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 2, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2.4

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

चरण 7.2.2.5

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

चरण 7.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{8}{9}$ है.

$\frac{8}{9}$

चरण 7.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{8}{9}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 2, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 2, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

चरण 8.2.2.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

चरण 8.2.3

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{8}{9}$ है.

$- \frac{8}{9}$

चरण 8.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{8}{9}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 2)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

चरण 9.2.2.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

चरण 9.2.2.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

चरण 9.2.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

चरण 9.2.3

$25$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

चरण 9.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{24}{25}$ है.

$- \frac{24}{25}$

चरण 9.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- \frac{24}{25}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(2, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 2), (2, \infty)$

चरण 11