कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- \frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

चरण 1.1.3.4

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

चरण 1.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

चरण 1.1.3.6

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

चरण 1.1.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

चरण 1.1.3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

चरण 1.1.3.6.2.4

$- x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x^{2} - x$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{2} - x$ है.

$x^{2} - x$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x^{2} - x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - x = 0$

चरण 2.2

$x^{2} - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x - x = 0$

चरण 2.2.2

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

चरण 2.2.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x - 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 1$ हैं.

$0, 1$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

चरण 5.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 1 + 1$

चरण 5.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 1) = 2$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 5.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $2$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

चरण 6.2.2

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

चरण 6.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

चरण 6.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

चरण 6.2.5

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

चरण 6.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

चरण 6.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{4}$ है.

$- \frac{1}{4}$

चरण 6.3

$x = \frac{1}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{1}{4}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 4 - (2)$

चरण 7.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 4 - 2$

चरण 7.2.2

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f' (2) = 2$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $2$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0), (1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 1)$

चरण 9