कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{4} - 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{3} - 12 x^{2}$ है.

$12 x^{3} - 12 x^{2}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

चरण 2.2

$12 x^{3} - 12 x^{2}$ में से $12 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{3}$ में से $12 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

चरण 2.2.2

$- 12 x^{2}$ में से $12 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

चरण 2.2.3

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1)$ में से $12 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$12 x^{2} (x - 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 2.4

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.4.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.5

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 x^{2} (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 1$ हैं.

$0, 1$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 12 - 12 {(- 1)}^{2}$

चरण 5.2.1.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 12 - 12 \cdot 1$

चरण 5.2.1.4

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 12 - 12$

चरण 5.2.2

$- 12$ में से $12$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 24$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 24$ है.

$- 24$

चरण 5.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- 24$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{3} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{3}}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{8}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.5

$3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 {(\frac{1}{2})}^{2}$

चरण 6.2.1.6

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

चरण 6.2.1.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 \frac{1}{2^{2}}$

चरण 6.2.1.8

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 (\frac{1}{4})$

चरण 6.2.1.9

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.9.1

$- 12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 (- 3) (\frac{1}{4})$

चरण 6.2.1.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4}))$

चरण 6.2.1.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3$

चरण 6.2.2

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.2.3

$- 3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

चरण 6.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6}{2}$

चरण 6.2.5.2

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

चरण 6.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

चरण 6.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{3}{2}$ है.

$- \frac{3}{2}$

चरण 6.3

$x = \frac{1}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{3}{2}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $8$ से गुणा करें.

$f' (2) = 96 - 12 {(2)}^{2}$

चरण 7.2.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = 96 - 12 \cdot 4$

चरण 7.2.1.4

$- 12$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = 96 - 48$

चरण 7.2.2

$96$ में से $48$ घटाएं.

$f' (2) = 48$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $48$ है.

$48$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $48$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0), (0, 1)$

चरण 9