कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $\sqrt{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\sqrt{3} x$ का व्युत्पन्न $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$\sqrt{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sqrt{3}$ घटाएं.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

चरण 3.2

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

चरण 3.2.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 3.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 3.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 3.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{3}$

चरण 3.6

$π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 3.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 3.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 3.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

चरण 3.6.3.2

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 3.7

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.8

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

मूल फलन $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ को $x = \frac{π}{3}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$\sqrt{3}$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

चरण 4.2.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

चरण 4.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

चरण 4.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ है.

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ को $x = \frac{2 π}{3}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$\sqrt{3}$ और $\frac{2 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 5.2.1.2

$2$ को $\sqrt{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

चरण 5.2.1.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

चरण 5.2.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

चरण 5.2.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

चरण 5.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

चरण 5.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ है.

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

चरण 6

फलन $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ हैं.

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

चरण 7