कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

चरण 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 4$ और $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ को ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 4$ और $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.5

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.6

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.3.7.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.3.7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.4.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.4.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.5

$4$ और $4$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.6

$- 4 x + 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.6.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.6.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.7

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.8

$16 x (- x + 2)$ को ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.8.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.8.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.8.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.9

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

चरण 1.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ को सरल करें.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 1.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ को ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.5

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.6

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.3.7.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.3.7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.4.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.4.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.5

$4$ और $4$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.6

$- 4 x + 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.6.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.6.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.7

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.8

$16 x (- x + 2)$ को ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.8.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.8.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.8.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.9

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.1.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

चरण 1.4.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ को सरल करें.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 1.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 1.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ को ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.4

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.5

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.6

$4 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.3.7.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.3.7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.4.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.4.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.5

$4$ और $4$ जोड़ें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.6

$- 4 x + 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.6.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.6.2

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.7

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.8

$16 x (- x + 2)$ को ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.8.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.8.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.8.3

कोष्ठक लगाएं.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.9

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.1.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 1.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

चरण 1.5.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ को सरल करें.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 1.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 1.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

चरण 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.2.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.4.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.5

$\frac{d}{d x} [4 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.5.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

चरण 3.2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ और $0$ जोड़ें.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

चरण 3.2.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $0$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $0$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 3.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

चरण 3.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 x$ घटाएं.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

चरण 3.5.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

चरण 3.5.2

$2 y y' + 4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

चरण 3.5.2.2

$4 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

चरण 3.5.2.3

$2 y' y + 2 y' \cdot 2$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

चरण 3.5.3

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ के प्रत्येक पद को $2 (y + 2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ के प्रत्येक पद को $2 (y + 2)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.2.2

$y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1.1

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1.1.1

$- 8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.3

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1.3.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

चरण 3.5.3.3.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.2

$- 4 x + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.2.2.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.2.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.2.3

$4 (- x) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.3

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.4

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.5

$- (x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.2.6.1

$- (x - 1)$ को $- 1 (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

चरण 3.5.3.3.2.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

चरण 3.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 (x - 1) = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4 (x - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$4 (x - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.1.2.1.2

$x - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$x - 1 = \frac{0}{4}$

चरण 4.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x - 1 = 0$

चरण 4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- (1) + 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

चरण 5.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

चरण 5.2.1.3

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

चरण 5.2.1.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

चरण 5.2.1.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 + 2$

चरण 5.2.2

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f (1) = 0$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- (1) + 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

चरण 6.2.1.3

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

चरण 6.2.1.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

चरण 6.2.1.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 2 - 2$

चरण 6.2.2

$- 2$ में से $2$ घटाएं.

$f (1) = - 4$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 4$ है.

$- 4$

चरण 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

चरण 8