कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

चरण 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

चरण 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

चरण 2.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x y$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 (x y' + y \cdot 1)$

चरण 2.3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$6 (x y' + y)$

चरण 2.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 x y' + 6 y$

चरण 2.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

चरण 2.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y'$ घटाएं.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3

$3 y^{2} y' - 6 x y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$3 y^{2} y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.2

$- 6 x y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.3.3

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

चरण 2.5.4

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 (y^{2} - 2 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 (y^{2} - 2 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.2.2

$y^{2} - 2 x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1.1

$6 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3.1.2

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.2.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.3.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

चरण 2.5.4.3.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

चरण 2.5.4.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

चरण 2.5.4.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

चरण 2.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 y - x^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$- x^{2} = - 2 y$

चरण 3.2.2

$- x^{2} = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- x^{2} = - 2 y$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

चरण 3.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

चरण 3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.3.1

ऋणात्मक को $\frac{- 2 y}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

चरण 3.2.2.3.2

$- 1 \cdot (- 2 y)$ को $- (- 2 y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = - (- 2 y)$

चरण 3.2.2.3.3

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} = 2 y$

चरण 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

चरण 3.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2 y}$

चरण 3.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2 y}$

चरण 3.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

चरण 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\sqrt{2 y}$ से बदलें.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$6 \sqrt{2 y}$ को $y$ से गुणा करें.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $6 \sqrt{2 y} y$ है.

$6 \sqrt{2 y} y$

चरण 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \sqrt{2 y}$ से बदलें.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $- 6 \sqrt{2 y} y$ है.

$- 6 \sqrt{2 y} y$

चरण 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

चरण 7