कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 3$ और $g (x) = x - 3$ है.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.4.2

$x - 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.6

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2

$0$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3

$- 3$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ है.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ को ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 3$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 2.3.5.2

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

चरण 2.4.2

$12$ और $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6