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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.3
को से गुणा करें.
चरण 2.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
समीकरण के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 5
चरण 5.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.2
को से विभाजित करें.
चरण 6
अलग-अलग भिन्न
चरण 7
को में बदलें.
चरण 8
को से विभाजित करें.
चरण 9
अलग-अलग भिन्न
चरण 10
को में बदलें.
चरण 11
को से विभाजित करें.
चरण 12
को से गुणा करें.
चरण 13
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 14
चरण 14.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 14.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 14.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 14.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 14.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 14.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 15
स्पर्शरेखा के अंदर से निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.
चरण 16
चरण 16.1
का सटीक मान है.
चरण 17
पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए से संदर्भ कोण जोड़ें.
चरण 18
चरण 18.1
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 18.2
न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 18.2.1
और को मिलाएं.
चरण 18.2.2
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 18.3
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 18.3.1
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 18.3.2
और जोड़ें.
चरण 19
समीकरण का हल .
चरण 20
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 21
चरण 21.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 21.1.1
का सटीक मान है.
चरण 21.1.2
और को मिलाएं.
चरण 21.1.3
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 21.1.4
का सटीक मान है.
चरण 21.1.5
और को मिलाएं.
चरण 21.1.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 21.2
पदों को सरल करें.
चरण 21.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 21.2.2
में से घटाएं.
चरण 21.2.3
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 21.2.3.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 21.2.3.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 21.2.3.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 21.2.3.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 21.2.3.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 21.2.3.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 22
एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 23
चरण 23.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 23.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 23.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 23.2.1.1
का सटीक मान है.
चरण 23.2.1.2
और को मिलाएं.
चरण 23.2.1.3
का सटीक मान है.
चरण 23.2.1.4
और को मिलाएं.
चरण 23.2.2
पदों को सरल करें.
चरण 23.2.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 23.2.2.2
और जोड़ें.
चरण 23.2.2.3
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 23.2.2.3.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 23.2.2.3.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 23.2.2.3.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 23.2.2.3.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 23.2.2.3.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 23.2.2.3.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 23.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 24
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 25
चरण 25.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 25.1.1
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.
चरण 25.1.2
का सटीक मान है.
चरण 25.1.3
गुणा करें.
चरण 25.1.3.1
को से गुणा करें.
चरण 25.1.3.2
और को मिलाएं.
चरण 25.1.4
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 25.1.5
का सटीक मान है.
चरण 25.1.6
गुणा करें.
चरण 25.1.6.1
को से गुणा करें.
चरण 25.1.6.2
और को मिलाएं.
चरण 25.2
पदों को सरल करें.
चरण 25.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 25.2.2
और जोड़ें.
चरण 25.2.3
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 25.2.3.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 25.2.3.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 25.2.3.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 25.2.3.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 25.2.3.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 25.2.3.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 26
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 27
चरण 27.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 27.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 27.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 27.2.1.1
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.
चरण 27.2.1.2
का सटीक मान है.
चरण 27.2.1.3
गुणा करें.
चरण 27.2.1.3.1
को से गुणा करें.
चरण 27.2.1.3.2
और को मिलाएं.
चरण 27.2.1.4
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 27.2.1.5
पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.
चरण 27.2.1.6
का सटीक मान है.
चरण 27.2.1.7
गुणा करें.
चरण 27.2.1.7.1
को से गुणा करें.
चरण 27.2.1.7.2
और को मिलाएं.
चरण 27.2.1.8
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 27.2.2
पदों को सरल करें.
चरण 27.2.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 27.2.2.2
में से घटाएं.
चरण 27.2.2.3
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 27.2.2.3.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 27.2.2.3.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 27.2.2.3.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 27.2.2.3.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 27.2.2.3.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 27.2.2.3.2.4
को से विभाजित करें.
चरण 27.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 28
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय उच्चत्तम है
एक स्थानीय निम्नत्तम है
चरण 29