कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (\sqrt{3 x})$

चरण 1

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{3 x}$ को ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.2

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.3

उत्पाद नियम को $3 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$3^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 10

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

चरण 11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 12.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

चरण 12.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

चरण 12.1.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 x^{1}}$

चरण 12.2

$2 x^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 x}$