कैलकुलस उदाहरण

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

चरण 1.2

$x$ के लिए $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 e^{3 x}$ घटाएं.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

चरण 1.2.1.2

$3 e^{3 x}$ में से $2 e^{3 x}$ घटाएं.

$e^{3 x} = 1$

चरण 1.2.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

चरण 1.2.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$3 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{3 x})$ का प्रसार करें.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

चरण 1.2.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

चरण 1.2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 x = \ln (1)$

चरण 1.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$3 x = 0$

चरण 1.2.5

$3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.5.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{3}$

चरण 1.2.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

चरण 1.3.2

$2 e^{3 (0)} + 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 2 e^{0} + 1$

चरण 1.3.2.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = 2 \cdot 1 + 1$

चरण 1.3.2.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = 2 + 1$

चरण 1.3.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y = 3$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 3)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

चरण 3

$- 1$ और $0$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

चरण 3.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

चरण 3.3

$2 e^{3 x}$ में से $3 e^{3 x}$ घटाएं.

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

चरण 3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

चरण 3.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

चरण 3.7

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 3.7.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 3.7.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 3.7.2

$x$ के लिए $u = 3 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

चरण 3.7.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 3$

चरण 3.7.4

$x$ के लिए $u = 3 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

चरण 3.7.5

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 0$

चरण 3.7.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

चरण 3.7.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 3.8

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

चरण 3.9

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

चरण 3.10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

चरण 3.11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$0$ पर और $- 1$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

चरण 3.11.2

$0$ पर और $- 3$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

चरण 3.11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.3.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

चरण 3.11.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

चरण 3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

चरण 3.12.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

चरण 3.12.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

चरण 3.12.1.4

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

चरण 3.12.1.4.2

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

चरण 3.12.1.4.3

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{e^{3}}$ से गुणा करें.

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 3.12.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 3.12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 3.12.4

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

चरण 5

$0$ और $2$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

चरण 5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

चरण 5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

चरण 5.3

$3 e^{3 x}$ में से $2 e^{3 x}$ घटाएं.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

चरण 5.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

चरण 5.5

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 5.5.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.5.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 5.5.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 5.5.2

$x$ के लिए $u = 3 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

चरण 5.5.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.5.4

$x$ के लिए $u = 3 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

चरण 5.5.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 6$

चरण 5.5.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

चरण 5.5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

चरण 5.6

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

चरण 5.7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

चरण 5.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

चरण 5.9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

चरण 5.10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.1

$6$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

चरण 5.10.2

$2$ पर और $0$ पर $- x$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

चरण 5.10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.3.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

चरण 5.10.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

चरण 5.10.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

चरण 5.10.3.4

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

चरण 5.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

चरण 5.11.1.2

$\frac{1}{3}$ और $e^{6}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

चरण 5.11.1.3

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

चरण 5.11.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

चरण 5.11.2

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 5.11.3

$- 2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

चरण 5.11.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

चरण 5.11.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.5.1

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

चरण 5.11.5.2

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

चरण 5.11.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

चरण 6

क्षेत्रफल $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 6.2

$2$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 6.3

$\frac{e^{6} - 5}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 6.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$\frac{e^{6} - 5}{3}$ को $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

चरण 6.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

चरण 6.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

चरण 6.5.2

घातांक जोड़कर $e^{6}$ को $e^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

चरण 6.5.2.2

$6$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

चरण 7