कैलकुलस उदाहरण

$\log_{b} (216) = 3$

चरण 1

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\log_{b} (216) = 3$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$b^{3} = 216$

चरण 2

$b$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $216$ घटाएं.

$b^{3} - 216 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$216$ को $6^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$b^{3} - 6^{3} = 0$

चरण 2.2.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = b$ और $b = 6$ हैं.

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$6$ को $b$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

चरण 2.2.3.2

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

चरण 2.4

$b - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $b$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$b - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$b - 6 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$b = 6$

चरण 2.5

$b^{2} + 6 b + 36$ को $0$ के बराबर सेट करें और $b$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$b^{2} + 6 b + 36$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

चरण 2.5.2

$b$ के लिए $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 6$ और $c = 36$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $b$ के लिए हल करें.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 36$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $36$ से गुणा करें.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.3

$36$ में से $144$ घटाएं.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.4

$- 108$ को $- 1 (108)$ के रूप में फिर से लिखें.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ के रूप में फिर से लिखें.

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.7

$108$ को $6^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.7.1

$108$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.7.2

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.9

$6$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 2.5.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

चरण 2.5.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$