कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

चरण 1

समीकरण को $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$

चरण 2

दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

चरण 3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{x} - e^{- x} = y \cdot 2$

चरण 3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{x} - e^{- x} = 2 y$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

चरण 4.2

$u$ को $e^{x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$u - u^{- 1} = 2 y$

चरण 4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u - \frac{1}{u} = 2 y$

चरण 4.4

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, u, 1$

चरण 4.4.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$u$

चरण 4.4.2

भिन्नों को हटाने के लिए $u - \frac{1}{u} = 2 y$ के प्रत्येक पद को $u$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$u - \frac{1}{u} = 2 y$ के प्रत्येक पद को $u$ से गुणा करें.

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 y u$

चरण 4.4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.1.1

$u$ को $u$ से गुणा करें.

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 y u$

चरण 4.4.2.2.1.2

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{u}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

चरण 4.4.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

चरण 4.4.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{2} - 1 = 2 y u$

चरण 4.4.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y u$ घटाएं.

$u^{2} - 1 - 2 y u = 0$

चरण 4.4.3.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.4.3.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2 y$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $u$ के लिए हल करें.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.4.1.1

उत्पाद नियम को $- 2 y$ पर लागू करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.2

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.3

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.4.1.3.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.3.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.4

$4 y^{2} + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.4.1.4.1

$4 y^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.4.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.4.3

$4 (y^{2}) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.5

$4 (y^{2} + 1)$ को $2^{2} (y^{2} + 1^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.4.1.5.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.5.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1^{2})}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.6

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.1.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.4.3.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$

चरण 4.4.3.4.3

$\frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$ को सरल करें.

$u = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}$

चरण 4.4.3.5

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

चरण 4.5

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $y + \sqrt{y^{2} + 1}$ को प्रतिस्थापित करें.

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

चरण 4.6

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

समीकरण को $e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

चरण 4.6.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.6.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.6.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.6.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.7

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $y - \sqrt{y^{2} + 1}$ को प्रतिस्थापित करें.

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

चरण 4.8

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

समीकरण को $e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

चरण 4.8.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.8.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.8.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.8.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

चरण 4.9

उन हलों की सूची बनाइए जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$