कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{t \sin (t)}{1 + t}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t \sin (t)$ और $g (t) = 1 + t$ है.

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = \sin (t)$ है.

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 3

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का व्युत्पन्न $\cos (t)$ है.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.2

$\sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.4

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.5

$0$ और $\frac{d}{d t} [t]$ जोड़ें.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.6

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 4.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

$t \cos (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.2.2

$\sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.2.3

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.3.1

$t$ ले जाएं.

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.1.2.3.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.2

$t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$t \sin (t)$ में से $t \sin (t)$ घटाएं.

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.1.2.2

$t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

चरण 5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$