कैलकुलस उदाहरण

$e^{\sqrt{3 x}}$

चरण 1

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{3 x}$ को ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{{(3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.2

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [e^{{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.3

उत्पाद नियम को $3 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $3^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 10

$3^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12

$e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ और $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3^{\frac{1}{2}} e^{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$