कैलकुलस उदाहरण

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{3}}$ से बदलें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.10

$\cos (x^{\frac{1}{3}})$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt[3]{\sin (5 x)}$ को ${\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = \sin (5 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (5 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (5 x)$ से बदलें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.3.2

$u_{3}$ के संबंध में $\sin (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{3})$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.3.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

चरण 3.4

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.9.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{- 2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

चरण 3.11

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) \cdot 5)$

चरण 3.12

$5$ को $\cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 \cdot \cos (5 x))$

चरण 3.13

$\frac{1}{3}$ और ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (5 \cos (5 x))$

चरण 3.14

$5$ और $\frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (5 x)$

चरण 3.15

$\frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $\cos (5 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (5 x)}{3}$

चरण 3.16

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cos (5 x)}{3 {\sin (5 x)}^{\frac{2}{3}}}$