कैलकुलस उदाहरण

$y = \log_{5} (\sqrt{x^{2} - 1})$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} - 1}$ को ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{5} (x)$ और $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log_{5} (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ है.

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 13.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 13.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 15

सरल करें.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 16

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 18

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + 0)$

चरण 19

पदों को सरल करें.

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चरण 19.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x)$

चरण 19.2

$2$ और $\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} x$

चरण 19.3

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

चरण 19.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

चरण 19.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{(x^{2} - 1) \ln (5)}$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - 1 \ln (5)}$

चरण 20.2

$- 1 \ln (5)$ को $- \ln (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - \ln (5)}$