कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{1 - x}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{1 - x}$ को $e^{\ln (x^{1 - x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

चरण 1.2

$1 - x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{1 - x})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $(1 - x) \ln (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $(1 - x) \ln (x)$ से बदलें.

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 - x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 5.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

चरण 5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

चरण 5.6.2

$- 1$ को $\ln (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

चरण 5.6.3

$- 1 \ln (x)$ को $- \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

चरण 6.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

चरण 6.3.2

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

चरण 6.3.3

$\frac{1}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

चरण 6.3.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

चरण 6.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

चरण 6.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

चरण 6.5.2

$- 1$ को $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

चरण 6.5.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.6

$- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ को $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.7

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.8

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ और $\frac{x}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.10

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.10.2

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.10.3

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

चरण 6.11

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

चरण 6.12

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ और $\frac{x}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

चरण 6.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

चरण 6.14

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.14.1

$- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

चरण 6.14.2

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ में से $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

चरण 6.15

गुणनखंडों को $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$