कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x {(1 - 2 x)}^{3}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 1 - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - 2 x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - 2 x$ से बदलें.

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ जोड़ें.

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.5

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.7

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.8

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

चरण 3.9

${(1 - 2 x)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ में से ${(1 - 2 x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ में से ${(1 - 2 x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

चरण 4.1.2

${(1 - 2 x)}^{3}$ में से ${(1 - 2 x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

चरण 4.1.3

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ में से ${(1 - 2 x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

चरण 4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

चरण 4.2.2

$- 6 x$ में से $2 x$ घटाएं.

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

चरण 4.3

${(1 - 2 x)}^{2}$ को $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

चरण 4.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.2

$- 2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.1.6

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

चरण 4.5.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

चरण 4.6

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ का प्रसार करें.

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- 8 x$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.2

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.4.1

$x$ ले जाएं.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.5

$- 4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.6

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.8

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.8.1

$x$ ले जाएं.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.8.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.8.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.8.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.9

$4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

चरण 4.7.10

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

चरण 4.8

$- 8 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

चरण 4.9

$32 x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$