कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ से बदलें.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 1$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$2$ को $x^{2} - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.6

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 3.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3.8.3

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{(2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x) \cdot 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

चरण 3.8.4

$3$ को $2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

उत्पाद नियम को $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ पर लागू करें.

$\frac{3 (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x^{2} x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7

पदों को मिलाएं.

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चरण 4.7.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 (2 x^{3}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} + 3 (- 2 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.6

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.9

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.10

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.11

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.12

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.13

$6 x^{3}$ में से $6 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{- 6 x + 0 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.14

$- 6 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 6 x - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.15

$- 6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.17

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ को $\frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 4.7.18

घातांक जोड़कर ${(x^{2} - 1)}^{2}$ को ${(x^{2} - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.18.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2 + 2}}$

चरण 4.7.18.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 4.7.19

$12$ को ${(x^{2} + 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

चरण 4.8

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

चरण 4.8.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

चरण 4.8.3

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x - 1)$ पर लागू करें.

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

चरण 4.9

गुणनखंडों को $- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{12 x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$