कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{2 x - 1}$

चरण 1

$f (x) = e^{2 x - 1}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = e^{2 x - 1}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = e^{2 y - 1}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $e^{2 y - 1} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y - 1} = x$

चरण 3.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 y - 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y - 1})$ का प्रसार करें.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

चरण 3.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

चरण 3.3.3

$2 y - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y - 1 = \ln (x)$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 y = \ln (x) + 1$

चरण 3.5

$2 y = \ln (x) + 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y = \ln (x) + 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ , $f (x) = e^{2 x - 1}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 5.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

चरण 5.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$2 x - 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

चरण 5.2.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

चरण 5.2.4.3

$2 x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

चरण 5.2.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$2 x - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

चरण 5.2.5.1.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.2.5.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (x)$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3.3

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

चरण 5.3.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

चरण 5.3.3.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

चरण 5.3.3.5.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

चरण 5.3.3.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

चरण 5.3.3.5.2

सरल करें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

चरण 5.3.4

$\ln (x) + 1 - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

चरण 5.3.4.2

$\ln (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

चरण 5.3.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ , $f (x) = e^{2 x - 1}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$