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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.3
को से गुणा करें.
चरण 2.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.3.1
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.3.1.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 2.3.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.1.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 2.3.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 2.4
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.4.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.4.2
भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 2.4.3
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 2.4.4
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.4.5
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.4.6
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.4.7
और जोड़ें.
चरण 2.4.8
को से गुणा करें.
चरण 2.4.9
और को मिलाएं.
चरण 2.4.10
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 2.5
सरल करें.
चरण 2.5.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 2.5.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 2.5.3
पदों को मिलाएं.
चरण 2.5.3.1
को से गुणा करें.
चरण 2.5.3.2
को से गुणा करें.
चरण 2.5.3.3
को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, से गुणा करें.
चरण 2.5.3.4
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 3
चरण 3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.3
को से गुणा करें.
चरण 4
बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.
चरण 5
चरण 5.1
प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.
चरण 5.1.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.1.2
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 5.1.2.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.1.2.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.1.2.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.1.3
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.1.3.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.1.3.1.1
को से गुणा करें.
चरण 5.1.3.1.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.1.3.1.3
को से गुणा करें.
चरण 5.1.3.2
और जोड़ें.
चरण 5.1.4
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.1.5
सरल करें.
चरण 5.1.5.1
को से गुणा करें.
चरण 5.1.5.2
को से गुणा करें.
चरण 5.1.6
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.1.7
सरल करें.
चरण 5.1.7.1
को से गुणा करें.
चरण 5.1.7.2
को से गुणा करें.
चरण 5.1.7.3
को से गुणा करें.
चरण 5.1.8
कोष्ठक हटा दें.
चरण 5.2
समीकरण के पदों का LCD पता करें.
चरण 5.2.1
मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.
चरण 5.2.2
एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.
चरण 5.3
भिन्नों को हटाने के लिए के प्रत्येक पद को से गुणा करें.
चरण 5.3.1
के प्रत्येक पद को से गुणा करें.
चरण 5.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.3.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.3.2.1.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 5.4
समीकरण को हल करें.
चरण 5.4.1
को सरल करें.
चरण 5.4.1.1
फिर से लिखें.
चरण 5.4.1.2
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.4.1.3
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 5.4.1.3.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.1.3.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.1.3.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.1.4
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.4.1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.1.4.1.1
को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.4.1.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.1.4.1.3
को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.4.2
और जोड़ें.
चरण 5.4.1.5
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.1.6
सरल करें.
चरण 5.4.1.6.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.6.1.1
ले जाएं.
चरण 5.4.1.6.1.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.6.1.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.1.6.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 5.4.1.6.1.3
और जोड़ें.
चरण 5.4.1.6.2
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.1.6.3
को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.7
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.1.7.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.7.1.1
ले जाएं.
चरण 5.4.1.7.1.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.1.7.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.2
वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.4.2.2
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.4.2.3
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.4.2.4
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 5.4.2.5
में से घटाएं.
चरण 5.4.2.6
में से घटाएं.
चरण 5.4.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.3.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.3.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.3.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.3.4
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.3.5
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.4
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.4.5
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 5.4.5.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.5.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.5.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.6
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.4.6.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.6.1.1
को से गुणा करें.
चरण 5.4.6.1.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.6.1.3
को से गुणा करें.
चरण 5.4.6.2
और जोड़ें.
चरण 5.4.7
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.8
सरल करें.
चरण 5.4.8.1
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.8.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.9
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 5.4.10.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 5.4.10.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.4.10.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.4.10.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.4.10.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 5.4.10.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.4.10.3.1
पदों को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.1.1.1
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 5.4.10.3.1.1.2
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 5.4.10.3.1.2
पदों को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.1.2.1
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.1.2.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.1.2.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.1.2.2.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.1.2.2.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.1.2.3
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.2
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.2.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.2.1.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.2.1.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.2.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.10.3.2.3
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.10.3.2.4
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.2.5
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.2.5.1
ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.2.5.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.3
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.4
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.4.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.10.3.4.2
सरल करें.
चरण 5.4.10.3.4.2.1
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.10.3.4.2.2
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.10.3.4.2.3
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.4.3
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.4.3.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.3.1.1
ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.4.3.1.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.3.1.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.10.3.4.3.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 5.4.10.3.4.3.1.3
और जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.4.3.2
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.3.2.1
ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.4.3.2.2
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.4
को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1
परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड है.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.1
यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप होगा, जहां स्थिरांक का एक गुणनखंड है और प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.2
का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3
को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक के बराबर है, इसलिए बहुपद का मूल है.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.1
को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.5
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.6
और जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.7
को से गुणा करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.8
में से घटाएं.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.3.9
में से घटाएं.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.4
चूँकि एक ज्ञात मूल है, बहुपद को से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5
को से विभाजित करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.1
बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो के मान वाला एक शब्द डालें.
+ | + | + | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.2
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
+ | + | + | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.3
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
+ | + | + | - | ||||||||
+ | + |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.4
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
+ | + | + | - | ||||||||
- | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.5
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.6
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.7
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.8
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.9
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.10
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.11
अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.12
भाज्य के उच्च क्रम के पद को विभाजक के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.13
भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.14
व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.15
संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
चरण 5.4.10.3.4.4.1.5.16
चूंकि रिमांडर है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.
चरण 5.4.10.3.4.4.1.6
गुणनखंडों के एक सेट के रूप में लिखें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2
वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.1
फॉर्म के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल है और जिसका योग है.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.1.2
को जोड़ के रूप में फिर से लिखें
चरण 5.4.10.3.4.4.2.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.2.1
पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.2.2
प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.4.4.2.3
महत्तम समापवर्तक, का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.
चरण 5.4.10.3.4.5
प्रतिपादकों को जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.4.5.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.10.3.4.5.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 5.4.10.3.4.5.3
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 5.4.10.3.4.5.4
और जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.5
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 5.4.10.3.6
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 5.4.10.3.6.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 5.4.10.3.6.2
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
चरण 5.4.10.3.6.3
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 5.4.10.3.7
गुणनखंडों को में पुन: क्रमित करें.
चरण 6
को से बदलें.