कैलकुलस उदाहरण

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x y + \ln (x^{2} y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.2.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} y$ के रूप में सेट करें.

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

चरण 2.3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

चरण 2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} y$ से बदलें.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

चरण 2.3.5

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

चरण 2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

चरण 2.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x^{2} y}$ को मिलाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

चरण 2.4.3.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

चरण 2.4.3.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

चरण 2.4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

चरण 2.4.3.4

$2$ और $\frac{1}{x^{2} y}$ को मिलाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

चरण 2.4.3.5

$y$ और $\frac{2}{x^{2} y}$ को मिलाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

चरण 2.4.3.6

$\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ और $x$ को मिलाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

चरण 2.4.3.7

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

चरण 2.4.3.8

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

चरण 2.4.3.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

चरण 2.4.3.9

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.9.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

चरण 2.4.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.9.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

चरण 2.4.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

चरण 2.4.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, 1, y, x, 1$

चरण 5.1.2

चूँकि $1, 1, y, x, 1$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग $1, 1, 1, 1, 1$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग $y^{1}, x^{1}$ के लिए LCM पता करें.

चरण 5.1.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 5.1.4

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 5.1.5

$1, 1, 1, 1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$1$

चरण 5.1.6

$y^{1}$ का गुणनखंड $y$ ही है.

$y^{1} = y$

$y$ $1$ बार आता है.

चरण 5.1.7

$x^{1}$ का गुणनखंड $x$ ही है.

$x^{1} = x$

$x$ $1$ बार आता है.

चरण 5.1.8

$y^{1}, x^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$y x$

चरण 5.2

भिन्नों को हटाने के लिए $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ के प्रत्येक पद को $y x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ के प्रत्येक पद को $y x$ से गुणा करें.

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1

$y$ ले जाएं.

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.2.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.4.1

$y x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

चरण 5.2.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$0 (y x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$y$ को $0$ से गुणा करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

चरण 5.2.3.1.2

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

चरण 5.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 y^{2} x$ घटाएं.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

चरण 5.3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

चरण 5.3.2

$4 x^{2} y' y + y' x$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$4 x^{2} y' y$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

चरण 5.3.2.2

$y' x$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

चरण 5.3.2.3

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

चरण 5.3.3

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ के प्रत्येक पद को $x (4 x y + 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ के प्रत्येक पद को $x (4 x y + 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.2.2

$4 x y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.2

$- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $(4 x y + 1) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.3.1

$\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.3.2

$(4 x y + 1) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5

$- 4 y^{2} x - 2 y$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.5.1

$- 4 y^{2} x$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5.2

$- 2 y$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.5.3

$2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.6

$- 2 y x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.7

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.8

$- (2 y x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.9.1

$- (2 y x + 1)$ को $- 1 (2 y x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

चरण 5.3.3.3.9.3

गुणनखंडों को $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$