कैलकुलस उदाहरण

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 9 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 y$ से बदलें.

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

चरण 2.2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 y$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$9$ और $\frac{1}{9 y}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.2

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} y'$

चरण 2.4

$\frac{1}{y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{y}$ और $g (x) = \sin (5 x)$ है.

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.3.3.2

$5$ को $e^{y} \cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

चरण 3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

चरण 5.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

चरण 5.2.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1

गुणनखंडों को $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

चरण 5.2.2.1.2.2

$5 y e^{y} \cos (5 x)$ और $y' y e^{y} \sin (5 x)$ को पुन: क्रमित करें.

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y' y e^{y} \sin (5 x)$ घटाएं.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3.2

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3.2.2

$- y' y e^{y} \sin (5 x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3.2.3

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3.3

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

चरण 5.3.4

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ के प्रत्येक पद को $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ के प्रत्येक पद को $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

चरण 5.3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1

$1 - y e^{y} \sin (5 x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

चरण 5.3.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$