कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin^{4} (x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))$

चरण 3.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

चरण 4.2

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ को $\sec^{3} (x)$ में बदलें.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

चरण 4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (x)$ को फिर से लिखें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x)$

चरण 4.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (x)}$ पर लागू करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

चरण 4.4.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

चरण 4.4.4

$2$ और $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

चरण 4.4.5

$\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ और $\sin (x)$ को मिलाएं.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

चरण 4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$\cos^{3} (x)$ में से $\cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$

चरण 4.5.2

अलग-अलग भिन्न

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

चरण 4.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

चरण 4.5.4

$1$ से गुणा करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x)$

चरण 4.5.5

अलग-अलग भिन्न

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

चरण 4.5.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ को $\sec^{2} (x)$ में बदलें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

चरण 4.5.7

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$