कैलकुलस उदाहरण

$\int \arctan (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (2 x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 4 x^{2} + 1$ .फिर $d u = 8 x d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 4 x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 x + 0$

चरण 5.1.4.2

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$8 x$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

चरण 6.2

$8$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{8}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2

$- 2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x^{2} + 1$ से बदलें.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$