कैलकुलस उदाहरण

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \ln (\sin (x))$ .फिर $d u_{2} = \cot (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \ln (\sin (x))$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\ln (\sin (x))$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ को $\csc (x)$ में बदलें.

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\csc (x) \cos (x)$

चरण 1.1.5

सरल करें.

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चरण 1.1.5.1

$\csc (x) \cos (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\cos (x) \csc (x)$

चरण 1.1.5.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (x)$ को फिर से लिखें.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

चरण 1.1.5.3

$\cos (x)$ और $\frac{1}{\sin (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

चरण 1.1.5.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को $\cot (x)$ में बदलें.

$\cot (x)$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u_{2} d u_{2}$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (\sin (x))$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$