कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} (x) d x$

चरण 1

$\cos^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

चरण 2.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 4.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 5

${(1 - u^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{1} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 5.5

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 5.6

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.11

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 5.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 5.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 5.14

$- u^{2}$ में से $u^{2}$ घटाएं.

$\int_{0}^{1} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

चरण 5.15

$- 2 u^{2}$ और $u^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{0}^{1} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

चरण 5.16

$1$ ले जाएं.

$\int_{0}^{1} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

चरण 8

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{1} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

चरण 10

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d u$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1}) + u]_{0}^{1}$

चरण 12

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ और $u]_{0}^{1}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} u^{5} + u]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{1}{5} u^{5} + u$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

चरण 13.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{u^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 1) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.2

$\frac{1}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} + 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + 5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.5

$1$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{6}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.7

$\frac{1}{5}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.8

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.9

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.10

$\frac{6}{5}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.11

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

चरण 13.3.12

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

चरण 13.3.13

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.13.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

चरण 13.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.13.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

चरण 13.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

चरण 13.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

चरण 13.3.13.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0)$

चरण 13.3.14

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0)$

चरण 13.3.15

$\frac{1}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3})$

चरण 13.3.16

$- 2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3}$

चरण 13.3.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{6}{5} - \frac{2}{3}$

चरण 13.3.18

$\frac{6}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 13.3.19

$- \frac{2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 13.3.20

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.20.1

$\frac{6}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 13.3.20.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 13.3.20.3

$\frac{2}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

चरण 13.3.20.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15}$

चरण 13.3.21

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

चरण 13.3.22

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.22.1

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

चरण 13.3.22.2

$- 2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{18 - 10}{15}$

चरण 13.3.22.3

$18$ में से $10$ घटाएं.

$\frac{8}{15}$

चरण 14

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{15}$

दशमलव रूप:

$0.5\overline{3}$