कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (x) d x$

चरण 1

$\sin^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

चरण 2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

चरण 2.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (x)$ को $1 - \cos^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 4.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = \cos (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 4.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{0} - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{0} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 6

${(1 - u^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int_{1}^{0} 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 6.5

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 6.6

$u^{2}$ ले जाएं.

$- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.11

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 6.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \int_{1}^{0} 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 6.14

$- u^{2}$ में से $u^{2}$ घटाएं.

$- \int_{1}^{0} 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

चरण 6.15

$- 2 u^{2}$ और $u^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \int_{1}^{0} 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

चरण 6.16

$1$ ले जाएं.

$- \int_{1}^{0} u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\int_{1}^{0} u^{4} d u + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$- (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 9

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 10

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 12

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u)$

चरण 13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u]_{1}^{0})$

चरण 14

$\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0}$ और $u]_{1}^{0}$ को मिलाएं.

$- (\frac{u^{5}}{5} + u]_{1}^{0} - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

चरण 15

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$0$ पर और $1$ पर $\frac{u^{5}}{5} + u$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}))$

चरण 15.2

$0$ पर और $1$ पर $\frac{u^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.2

$0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.2.1

$0$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.2.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.7

$1$ और $5$ जोड़ें.

$- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.8

$0$ में से $\frac{6}{5}$ घटाएं.

$- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.10

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.10.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.10.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3}))$

चरण 15.3.11

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3}))$

चरण 15.3.12

$0$ में से $\frac{1}{3}$ घटाएं.

$- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3}))$

चरण 15.3.13

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3}))$

चरण 15.3.14

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3})$

चरण 15.3.15

$- \frac{6}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3})$

चरण 15.3.16

$\frac{2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 15.3.17

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.17.1

$\frac{6}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 15.3.17.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 15.3.17.3

$\frac{2}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

चरण 15.3.17.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15})$

चरण 15.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

चरण 15.3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.19.1

$- 6$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15}$

चरण 15.3.19.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{- 18 + 10}{15}$

चरण 15.3.19.3

$- 18$ और $10$ जोड़ें.

$- \frac{- 8}{15}$

चरण 15.3.20

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{8}{15}$

चरण 15.3.21

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{8}{15})$

चरण 15.3.22

$\frac{8}{15}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8}{15}$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{8}{15}$

दशमलव रूप:

$0.5\overline{3}$