कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{2 x}{3}$ .फिर $d u = \frac{2}{3} d x$ , तो $\frac{3}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{2 x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{2 x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{2}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \frac{2 x}{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$2 \cdot 0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

चरण 1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

चरण 1.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

चरण 1.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

चरण 1.3.1.2.4

$2 \cdot 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 1.3.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \frac{2 x}{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ और $\frac{π}{2}$ को मिलाएं.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

चरण 1.5.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 π}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

चरण 1.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

चरण 1.5.2.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

चरण 2.2

$\frac{3}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

चरण 2.3

$\cos (u)$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

चरण 2.4

$3$ को $\cos (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{3}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{3}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

चरण 5

$\frac{π}{3}$ पर और $0$ पर $\sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

चरण 6.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

चरण 6.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

चरण 6.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

चरण 6.5

$\frac{3}{2}$ को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

दशमलव रूप:

$1.29903810 \dots$